Marsel Ortuño: Tranformada de una derivada

Si $y^{\prime}(t)$ es continua a trozos y de orden exponencial en el intervalo $[0,+ \infty[$ , entonces
$\displaystyle {\cal L} \{ y(t) \} = sY(s) - y(0)$

Demostración

Integrando por partes

$\displaystyle {\cal L} \{ y^{\prime}(t) \}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_0^{\infty} e^{-st}y^{}(t) dt$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle e^{-st}y(t) \Bigr\vert^{\infty}_0 + s \int_0^{\infty} e^{-st}y(t) dt$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle -y(0) + s {\cal L} \{ y(t)\}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle s Y(s) - y(0)$

Con un argumento similar podemos demostrar que

$\displaystyle {\cal L} \{ y^{\prime \prime}(t) \}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle -y^{\prime}(0) + s {\cal } \{ y^{\prime}(t) \}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle -y^{\prime}(0) + s \left( sY(s) - y(0) \right)$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle s^2 Y(s) - y^{\prime}(0) - sy(0)$

Ejemplo
Use el resultado anterior para calcular

$\displaystyle {\cal L} \{ t^2 \}$

Solución
Haciendo

, tenemos que

$\displaystyle {\cal L} \{ f^{\prime} (t)\}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle s {\cal L} \{ f(t)\} - f(0)$
$\displaystyle {\cal L} \{ 2t \}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle s {\cal L} \{ t^2 \} - 0$
$\displaystyle 2 {\cal L} \{ t \}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle s {\cal L} \{ t^2 \}$
$\displaystyle \frac{2}{s^2}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle s {\cal L} \{ t^2 \}$

y de aquí concluimos que

$\displaystyle {\cal L} \{ t^2 \} = \frac{2}{s^3}$

Si $y(t),y^{\prime}(t), \cdots, y^n(t)$ son continuas a trozos y de orden exponencial en el intervalo $[0,+ \infty[$ , entonces

$\displaystyle {\cal L} \{ y^n(t) \}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle s^n Y(s) - \sum_{j=0}^{n-1} s_j y^{n-1-j}(0)$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle s^n Y(s) - y^{n-1}(0) - sy^{n-2}(0) - \cdots - s^{n-1}y(0)$

Marsel Ortuño

lunes, 9 de mayo de 2011

Tranformada de una derivada

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