Marsel Ortuño: La Transformada de Laplace

La transformada de Laplace es útil para resolver ecuaciones diferenciales que involucran funciones

, periódicas, funciones discontinuas a trozos o deltas de Dirac, como lo muestran los siguientes ejemplos.

Ejemplo

Resuelva el siguiente problema de valor inicial

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{rcl} y^{\prime \prime} + 2y^{\prime... ... & = & 0 \\ y^{\prime}(0) & = & 0 \\ \end{array} \right. \end{displaymath}$

Solución

Tomando la transformada a ambos lados, tenemos que

$\displaystyle \left( s^2 + 2s + 2 \right)Y(s)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle e^{- \pi s}$
$\displaystyle Y(s)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{e^{-\pi s}}{s^2 +2s + 2 }$
$\displaystyle Y(s)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{e^{-\pi s}}{(s+1)^2 + 1}$

Y al aplicar la transformada inversa

$\displaystyle y(t) = e^{-(t- \pi)} Sen(t- \pi) H(t-\pi)$

La gráfica de la solución

se muestra en la figura

Ejemplo

Resuelva el siguiente problema de valor inicial

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{rcl} x^{\prime \prime} + 16x & = & ... ... & = & 0 \\ x^{\prime}(0) & = & 1 \\ \end{array} \right. \end{displaymath}$

donde

está dada por

$\begin{displaymath} \begin{cases} Cos(4t) & \text{Si $0 \leq t < \pi$\ } \\ 0 & \text{Si $t \geq \pi$\ } \\ \end{cases} \end{displaymath}$

Solución

La función

puede interpretarse como una fuerza externa que actúa en un sistema mecánico sólo por un tiempo corto, siendo desactivada posteriormente. Aunque este problema puede resolverse de la forma convencional no es conveniente.

Primero usemos la función de Heaviside para reescribir

$\displaystyle f(t)=Cos(4t) - Cos(4t)H(t-\pi) = Cos(4t) - Cos\left(4 \left((t - \pi\right) )\right)H(t-\pi)$

Aplicando transformada tenemos que

$\displaystyle s^2X(s) -sx(0) - x^{\prime}x(0) + 16X(s)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{s}{s^2+16} - \frac{se^{-\pi s}}{s^2+16}$
$\displaystyle \left(s^2 + 16 \right)X(s)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle 1 + \frac{s}{s^2+16} - \frac{se^{-\pi s}}{s^2+16}$
$\displaystyle X(s)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{1}{s^2+16} + \frac{s}{(s^2+16)^2} - \frac{se^{-\pi s}}{(s^2+16)^2}$

Al aplicar la transformada inversa obtenemos

$\displaystyle x(t) = \frac{1}{4} Sen(4t) + \frac{t}{8} Sen(4t) - \frac{t-\pi}{8} Sen\left(4 \left((t-\pi\right) \right) H(t-\pi)$

La gráfica de

se muestra en la figura

Ejemplo

Resolver el siguiente problema de valor inicial

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{rcl} t y^{\prime \prime} + y^{\prim... ... & = & 3 \\ y^{\prime}(0) & = & 0 \\ \end{array} \right. \end{displaymath}$

Solución

En este caso la ecuación diferencial tiene coeficientes variables, por lo que la transformada de Laplace resulta muy útil.

$\displaystyle {\cal L} \left\{t y^{\prime \prime} \right\} + {\cal L} \left\{ y^{\prime} \right\} + 4 {\cal L} \left\{ ty\right\}$	$\displaystyle =$	0
$\displaystyle - \left(s^2 Y(s) - s y(0) - y^{\prime}(0) \right)^{\prime} + sY(s) - y(0) - 4 Y^{\prime}(s)$	$\displaystyle =$	0
$\displaystyle \frac{dY(s)}{ds} + \frac{sY(s)}{s^2 + 4}$	$\displaystyle =$	0