Condiciones de la transformada de la place

Se define en términos de una integral impropia que puede ser divergente, existen funciones para las cuales no existe dicha transformada, incluso hay funciones discontinuas, como la del ejemplo anterior, que pueden tener transformada; entonces, ¿ bajo qué condiciones una funciones tienen transformada de Laplace ?. Antes de dar una respuesta parcial a esta pregunta debemos dar algunas definiciones.

FUNCIONES CONTINUAS A TROZOS:

Decimos que una función es continua a trozos si:

1. está definida y es continua en todo , salvo en un número finito depuntos , para
2. 
3. Para cada los límites :

existen. Note que, solamente uno de estos límites es pertinente si es uno de los extremos de .
En general, el requisito de que estos límites sean finitos en todos los puntos implica que las únicas discontinuidades de son discontinuidades de salto, del tipo que aparecen en la figura

Intuitivamente podríamos pensar que las funciones continuas a trozos son casicontínuas o que no son demasiado discontínuas.
Otra de las ideas importantes en el estudio de la existencia de la transformada de Laplace es que entendemos porqué una función no crezca demasiado rápido.

 

FUNCIONES DE ORDEN EXPONENCIAL

Decimos que la función     es de orden exponencial si existen números , y tales que :

para  .
Intuitivamente esto significa que la función esta por debajo de una función exponencial, como se muestra en la figura.

Observación: algunas veces, para verificar que una función es de orden exponencial, conviene calcular el siguiente límite:

para algún valor de . Si es finito, entonces puede ser cualquier número mayor que (y este determina ). Por otro lado, si , no es de orden exponencial.

FUNCIONES ACOTADAS
Sea     una función acotada, entonces es de orden exponencial.
Demostración
Como es acotada para todo . Entonces :

para cualquier , con lo cual es de orden exponencial.

EXISTENCIA DE LA TRANSFORMADA
Sea     una función continua a trozos y de orden exponencial, entonces la transformada de Laplace de existe. Es decir, existe un número tal que existe para .