Linealidad y Traslacion de la transformada inversa

Linealidad de la transformada inversa
Sean y funciones continuas a trozos y de orden exponencial en el intervalo tales que y , entonces
 =
                                   =

Teorema Forma inversa del primer teorema de traslación:

Demostración
La prueba es inmediata apartir de la definción:
 

Ejemplo de trasformadas

 

 

 

 

Se dice que f(t) es la transformada inversa de Laplace de F(s) y se expresa:

Algunas transformadas inversas

a) b)

c) d)

e) f)

g)

es una transformada lineal. Suponemos que la transformada inversa de Laplace es, en sí, una transformación lineal; esto es, si y son constantes,

en donde F y G son las transformadas de las funciones f y g.

La transformada inversa de Laplace de una función F(s) puede no ser única. Es posible que y, sin embargo, .
Comportamiento de F(s) cuando
Si f(t) es continua por tramos en y de orden exponencial para t>T, entonces

Demostración Dado que f(t) es continua parte por parte en , necesariamente es acotada en el intervalo; o sea . También cuando t>T. Si M representa el máximo de y c indica el máximo de , entonces

para s>c. Cuando , se tiene que , de modo que .

 

 

La transformada inversa de Laplace

La transformada inversa de Laplace Al aplicar la transformada de Laplace a una ecuación diferencial la convertimos en una ecuación algebraica, la cual podemos resolver para , es decir, . Ahora, como si pudiéramos devolvernos obtendríamos la solución que buscamos. Es decir, necesitamos de la transformada inversa , para hallar la función Entonces definamos la transformada inversa.

Definicion:

Si es la transformada de Laplace de una función continua , es decir, , entonces la transformada inversa de Laplace de , escrita es , es decir,